Максим Третьяк родился в Москве в 1996 году. Хоккеем начал заниматься в школе «Серебряные Акулы». До 6 лет играл нападающим, но после перешёл на позицию вратаря. В 12 лет продолжил хоккейное образование в ЦСКА. С 2012 года начал выступать за «Красную Армию» в МХЛ и провёл в команде три сезона. В сезоне-2015/2016 играл в ВХЛ, выступая за фарм-клуб ЦСКА. Весной 2016 года подписал контракт с «Адмиралом», но прежде, чем начать выступление клуб из Владивостока, сыграл 4 матча в Азиатской хоккейной лиге за «Сахалин». Дебют Максима Третьяка в КХЛ состоялся 25 сентября 2016 года в матче против ЦСКА. После «Адмирала» голкипер вернулся в систему армейского клуба, а летом 2018 года подписал контракт с рижским «Динамо», за который сыграл всего один матч. В 2020 году стал игроком хоккейного клуба «Сочи».

В составе сборной России принимал участие в Зимних юношеских Олимпийских играх 2012 года, выступал за сборную на чемпионате мира среди юниорских команд 2014 года и за молодежную сборную на ЧМ-2016, став вместе с командой серебряным призером. Весной 2022 года провел несколько выставочных матчей в составе национальной сборной России. Контракт с ХК «Сочи» действует до 30 апреля 2024 года